תלות לינארית ויחידות ההצגה – השוואת מקדמיםוקטורים 572 · שיעור 28
וקטורים · שאלון 572
תלות לינארית ויחידות ההצגה – השוואת מקדמים
פרק 6 – תלות לינארית ויחידות ההצגה
1נוסח השאלה
2סעיף א – וקטורים קולינאריים
3סעיף ב – השוואת מקדמים
4סעיף ג – שלושה וקטורים
5סעיף ד – צירוף שווה לאפס
📄 נוסח השאלה
בפירמידה SABC מסמנים SA = a , SB = b , SC = c. שלושת הווקטורים אינם באותו מישור (ולכן כל שניים מהם אינם קולינאריים).
א. מצאו את k שבעבורו הווקטורים u = 2a + (k − 1)b ו־v = 4a + 6b קולינאריים.
ב. נתון: (p + 1)a + (q − 2)b = 3a + b. מצאו את p ואת q.
📄 נוסח השאלה · המשך
ג. נתונים הווקטורים u = a + b , v = b + c , w = a − c. הראו ש־w הוא צירוף לינארי של u ו־v. מה אפשר להסיק על שלושת הווקטורים?
ד. נתון: (x − 1)a + (y + 2)b + (x + y − z)c = 0.
מצאו את x , y , z.
מצאו את x , y , z.
סעיף א – וקטורים קולינאריים
u = m · v
📐 וקטורים קולינאריים
נכתוב את שני הצדדים באמצעות a ו־b:
2a + (k − 1)b = m(4a + 6b)
2a + (k − 1)b = 4ma + 6mb
הווקטורים a ו־b אינם קולינאריים, לכן משווים את המקדמים:
📐 יחידות ההצגה (שני וקטורים לא קולינאריים)
2 = 4m
📐 וקטורים קולינאריים
u = m · v (m מספר)
📐 יחידות ההצגה (שני וקטורים לא קולינאריים)
ka + mb = pa + qb ⟸ k = p , m = q
סעיף א – וקטורים קולינאריים · המשך
2 = 4m
m = 12
k − 1 = 6m
נציב m = 12:
k − 1 = 6 · 12
k − 1 = 3
סעיף א – וקטורים קולינאריים · המשך
k − 1 = 3
k = 4
בדיקה: u = 2a + 3b = 12(4a + 6b) ✓
✅ פתרון סופי: k = 4
סעיף ב – השוואת מקדמים
הווקטורים a ו־b אינם קולינאריים, לכן ההצגה באמצעותם יחידה – משווים את המקדמים:
📐 יחידות ההצגה (שני וקטורים לא קולינאריים)
p + 1 = 3
p = 2
q − 2 = 1
q = 3
✅ פתרון סופי: p = 2 , q = 3
📐 יחידות ההצגה (שני וקטורים לא קולינאריים)
ka + mb = pa + qb ⟸ k = p , m = q
סעיף ג – שלושה וקטורים
נבדוק אם יש מספרים k ו־m כך ש־w = ku + mv:
📐 שלושה וקטורים באותו מישור (תלויים לינארית)
a − c = k(a + b) + m(b + c)
a − c = ka + (k + m)b + mc
הווקטורים a , b , c אינם באותו מישור, לכן משווים את המקדמים:
📐 יחידות ההצגה (שלושה וקטורים שלא באותו מישור)
k = 1
m = −1
📐 שלושה וקטורים באותו מישור (תלויים לינארית)
אחד מהם הוא צירוף לינארי של שני האחרים
📐 יחידות ההצגה (שלושה וקטורים שלא באותו מישור)
ka + mb + pc = 0 ⟸ k = m = p = 0
סעיף ג – שלושה וקטורים · המשך
m = −1
k + m = 0
נציב k = 1 , m = −1:
1 + (−1) = 0 ✓
w = u − v
לכן u , v , w נמצאים באותו מישור – הם תלויים לינארית.
סעיף ג – שלושה וקטורים · המשך
לכן u , v , w נמצאים באותו מישור – הם תלויים לינארית.
✅ פתרון סופי: w = u − v – שלושת הווקטורים תלויים לינארית (באותו מישור)
סעיף ד – צירוף שווה לאפס
הווקטורים a , b , c אינם באותו מישור, לכן כל המקדמים שווים לאפס:
📐 יחידות ההצגה (שלושה וקטורים שלא באותו מישור)
x − 1 = 0
x = 1
y + 2 = 0
y = −2
x + y − z = 0
📐 יחידות ההצגה (שלושה וקטורים שלא באותו מישור)
ka + mb + pc = 0 ⟸ k = m = p = 0
סעיף ד – צירוף שווה לאפס · המשך
x + y − z = 0
נציב x = 1 , y = −2:
1 + (−2) − z = 0
−1 − z = 0
z = −1
✅ פתרון סופי: x = 1 , y = −2 , z = −1
📌 סיכום התשובות
סעיף א
k = 4
סעיף ב
p = 2 , q = 3
סעיף ג
w = u − v – תלויים לינארית
סעיף ד
x = 1 , y = −2 , z = −1
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא